鴨川にあこがれる日々

軽い技術っぽい記事かいてます

PRML 2.8 2変数を使った分散

お知らせ

突然数式が展開されなくなったので,
PRML2章
に同様の式展開を記載しています.


amzn.to

演習2.8は,p72で言及されている式(2.21)の平均と分散を求める問題である.
今回は分散を求める.
ちょっと式変形が不安ですが...

平均はこちらnzw.hatenablog.jp


\begin{align}
var[x] = \mathbb{E}_y[var_x[x|y]]+var_y[\mathbb{E}_x[x|y]] \tag{2.271}
\end{align}
が成立することを示す.

式(1.39)と式(2.270)の結果を使う.

右辺を変形して左辺を導く.

\begin{align}
&\mathbb{E}_y(\mathbb{E}_x[x^2|y] - (\mathbb{E}_x[x|y])^2) + \mathbb{E}_y(\mathbb{E}_x[x|y])^2 - (\mathbb{E}_y \mathbb{E}_x[x|y])^2 \\
&= \mathbb{E}_y\mathbb{E}_x[x^2|y] - \mathbb{E}_y(\mathbb{E}_x[x|y])^2 + \mathbb{E}_y(\mathbb{E}_x[x|y])^2 - (\mathbb{E}_y \mathbb{E}_x[x|y])^2 \\
&= \mathbb{E}_y\mathbb{E}_x[x^2|y] - (\mathbb{E}_y \mathbb{E}_x[x|y])^2 \\
&= \mathbb{E}[x^2] - \mathbb{E}[x]^2 \\
&= var[x] \\
\end{align}

以上.