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鴨川にあこがれる日々

軽い技術っぽい記事かいてます

PRML演習2.5 式2.265の導出

amzn.to

式2.265の導出を行う.

\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b) &= \int^{\infty}_0exp(-x)x^{a-1}dx \int^{\infty}_0exp(-y)y^{b-1}dy
\end{align}

を使って導出する.
問題にしたがって進めていくだけであるが,積分の順序交換はやったことがないと,積分区間の変更が難しいと思う.(というかできない気がする)

\begin{align}
\Gamma(a)\Gamma(b) &= \int^{\infty}_0exp(-x)x^{a-1}dx \int^{\infty}_0exp(-y)y^{b-1}dy \tag{1} \\
&= \int^{\infty}_0 \int^{\infty}_0 exp(-x)x^{a-1} exp(-y)y^{b-1} dy dx \tag{2}\\
&= \int^{\infty}_0 \int^{\infty}_x exp(-x)x^{a-1} exp(-t+x)(t-x)^{b-1} dy dx \tag{3}\\
&= \int^{\infty}_0 \int^{\infty}_x exp(-t) x^{a-1}(t-x)^{b-1} dt dx \tag{4}\\
&= \int^{\infty}_0 \int^{t}_0 exp(-t) x^{a-1}(t-x)^{b-1} dx dt\tag{5} \\
&= \int^{\infty}_0 \int^{1}_0 exp(-t) (t\mu)^{a-1}(t-t\mu)^{b-1}t d\mu dt \tag{6} \\
&= \int^{\infty}_0 \int^{1}_0 exp(-t) t^{a-1}\mu^{a-1}t^{b-1}(1-\mu)^{b-1}t d\mu dt \tag{7}\\
&= \int^{\infty}_0 \int^{1}_0 exp(-t) t^{a+b-1}\mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} d\mu dt \tag{8} \\
&= \int^{\infty}_0 exp(-t) t^{a+b-1} dt \int^{1}_0 \mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} d\mu \tag{9}\\
&= \Gamma(a+b) \int^{1}_0 \mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} d\mu \tag{10}\\
\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} &= \int^{1}_0 \mu^{a-1}(1-\mu)^{b-1} d\mu \tag{11}
\end{align}

式(2):被積分関数積分される変数が独立であるなら,積の形を重積分に変形できる.
式(3): t=y+xで置換
式(5): x t積分の順序を変更
 tの範囲は, 0 \leq t \leq \infty
 xの範囲は, 0 \leq x \leq \infty かつ  x \leq tより 0 \leq x \leq t
式(6): x=t \mu で置換
式(9):式(2)の逆で,重積分積分の積の形に変形
式(10):ガンマ関数の定義を利用


以上.