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鴨川にあこがれる日々

軽い技術っぽい記事かいてます

PRML演習2.6 ベータ分布の分散

amzn.to

前回と同じ問題の続きnzw.hatenablog.jp

ベータ分布の分散を求める.

分散の計算にはp.19の式(1.39)を使う.

\begin{align}
var[\mu] = \mathbb{E}[\mu^2] - \mathbb{E}[\mu]^2
\end{align}

前回求めた

\begin{align}
\mathbb{E}[\mu] = \frac{a}{a+b}
\end{align}

を第2項に代入し,第1項は定義どおりに \mu^2 を代入して地道に計算していく.

\begin{align}
var[\mu] &= \mathbb{E}[\mu^2] - \mathbb{E}[\mu]^2 \\
&= \int_0^1 \mu^2 \ p(\mu) d\mu - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \int_0^1 \mu^2 Beta(\mu|a,b) d\mu - (\frac{a}{a+b})^2\\
&= \int_0^1 \mu^2 \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \mu^{a-1} (1-\mu)^{b-1} d\mu - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \int_0^1 \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \mu^{a+1} (1-\mu)^{b-1} d\mu - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^1 \mu^{a+1} (1-\mu)^{b-1} d\mu - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{\Gamma(a+2)\Gamma(b)}{\Gamma{(a+b+2)}} - (\frac{a}{a+b})^2
\end{align}

最後の変形は,式(2.265)を利用した.

ここで式(1.141)のガンマ関数の性質を利用して

\begin{align}
var[\mu] &= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{\Gamma(a+2)\Gamma(b)}{\Gamma{(a+b+2)}} - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{(a+1)\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{(a+b+1)\Gamma{(a+b+1)}} - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{(a+1)a\Gamma(a)\Gamma(b)}{(a+b+1)(a+b)\Gamma{(a+b)}} - (\frac{a}{a+b})^2 \\
&= \frac{(a+1)a}{(a+b+1)(a+b)} - (\frac{a}{a+b})^2\\
&= \frac{a}{a+b}(\frac{a+1}{a+b+1} - \frac{a}{a+b}) \\
&= \frac{a}{a+b}(\frac{(a+1)(a+b) - a(a+b+1)}{(a+b+1)(a+b)}) \\
&= \frac{a}{a+b}(\frac{b}{(a+b+1)(a+b)}) \\
&= \frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}
\end{align}

以上.

MathJaxをリアルタイムで数式を描画してくれるので,web-dou.com
が便利