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鴨川にあこがれる日々

軽い技術っぽい記事かいてます

PRML演習2.6 ベータ分布の平均

amzn.to

ベータ分布の平均を求める.

ベータ分布は連続変数の確率分布であるため,平均はp.19の式(1.34)を使う.

\begin{align}
\mathbb{E}[\mu] = \int \mu \ p(\mu) d\mu
\end{align}

式(1.34)に従ってベータ分布を代入する.

\begin{align}
\mathbb{E}[\mu] &= \int_0^1 \mu \ p(\mu) d\mu \\
&= \int_0^1 \mu Beta(\mu|a,b) d\mu \\
&= \int_0^1 \mu \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \mu^{a-1} (1-\mu)^{b-1} d\mu \\
&= \int_0^1 \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \mu^{a} (1-\mu)^{b-1} d\mu \\
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \int_0^1 \mu^{a} (1-\mu)^{b-1} d\mu \\
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{\Gamma{(a+b+1)}}
\end{align}

最後の変形は,式(2.265)を利用した.


ここで式(1.141)のガンマ関数の性質を利用して
 \Gamma(x+1) = x\Gamma(x)
より

\begin{align}
&= \frac{\Gamma{(a+b)}}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{(a)\Gamma(a)\Gamma(b)}{(a+b)\Gamma{(a+b)}} \\
&= \frac{a}{a+b}
\end{align}

以上.